搬沙发时 如何通过走廊拐角：数学家竟被它困扰了60多年

你或许也有过这样的经历：搬家时，想在狭窄的空间里移动家具，结果在转弯时被卡住，怎么转都转不过去。数学家将这一难题称为“移动沙发问题”。

2024 年 12 月 2 日，韩国数学家白真允（Jineon Baek）在社交媒体上宣称自己已解决这一问题，随即在国内外媒体和数学界引发广泛讨论。

也许你会好奇：看似一个与日常生活紧密相关的小问题，到底有多难？

移动沙发问题涉及形状如何适应拐角的数学问题丨图片来源：加州大学戴维斯分校

“移动沙发问题”是什么？

事实上，“移动沙发问题”是一个经历了许多讨论与探索的问题。早在20世纪60年代，一些数学家就已经开始探讨与这一问题相关的几何优化问题。

1966 年，奥地利裔加拿大数学家李奥·莫泽（Leo Moser）在正式的数学刊物中首次提出了“移动沙发问题”的明确数学定义和问题描述：

在宽度为 1 的 L 形平面走廊中，能够通过一个直角转弯而不发生碰撞的“沙发”的最大面积是多少？

这一问题自此引起了数学界的广泛关注，并成为经典的几何优化问题之一。

移动沙发问题演示丨图片来源：文献[1]

1968 年，英国数学家约翰·迈克尔·哈默斯利（John Michael Hammersley）根据最简单的情形提出了一种解法。

他将“沙发”设计成类似于一个电话听筒的形状，由两个四分之一圆和一个中间的矩形块组成，中间的矩形块中挖去了一个半圆形，从而得出的“沙发”最大面积为

。

哈默斯利设计的“沙发”

1992 年，美国数学家约瑟夫·杰弗（Joseph Gerver）在哈默斯利设计的“沙发”的基础上进行了改进，提出了一种由 18 条光滑曲线围成的“沙发”，算出的最大沙发面积约为 2.2195，进一步提高了这个问题解的下限。

杰弗设计的“沙发”

又到了 2014 年，业余数学家菲利普·吉布斯（Philip Gibbs）通过计算机演算得出了一种最优沙发形状，其与约瑟夫·杰弗（Joseph Gerver）设计的“Gerver 沙发”几乎相同，且计算出的面积在八位有效数字下相同。

这一发现表明，杰弗设计的“沙发”很可能就是移动沙发问题的最优解，不过这一点尚未得到数学上的正式证明。

不过，科学家们至少已经确定了“沙发”面积的一个上限，也就是这个面积最大不能超过多少。哈默斯利指出了沙发常数的上限最多为 

≈2.8284

2018 年，约阿夫·卡鲁斯（Yoav Kallus）和丹·罗米奇（Dan Romik）通过将走廊（而不是沙发）旋转几个不同角度，使旋转后的走廊交集形成尽可能大的连接区域，并利用计算机搜索，成功将“沙发”的上限缩小至 2.37。

也就是说，“移动沙发问题”的最优解在 2.2195～2.37 之间。

“移动沙发问题”到底难在哪？

看到这里，你可能会问：“移动沙发问题”看起来如此直观简单，为什么却困扰数学家超过半个世纪？

尽管约瑟夫·杰弗已经提出了一个近似最优解，但要证明它就是真正的最优解仍然非常困难，因为这需要排除所有可能存在的更优形状。而在平面内，“沙发”的形状可以千变万化，最优解很可能是一个不对称、复杂且不规则的多边形。

要探索所有可能的形状并评估其面积和可移动性，涉及极为庞大的计算量，这使得穷举所有可能性成为不可能。

此外，既缺乏对称性和规则性，又能灵活转动和移动的形状在几何上本身就非常复杂，因此，数学家们也难以找到一个通用的公式来解决这一问题。

进入新世纪后，随着计算机技术的飞速发展，数学家们开始广泛采用计算机辅助设计和运动路径模拟，探索“沙发”可能的形状。

然而，即使是使用计算机辅助的数值方法和优化算法，现有的算法在排除所有潜在的更优形状，以及探索和验证各种复杂形状的可行性和面积时，依然常常面临计算时间过长和计算资源消耗过大的问题，这在很大程度上限制了进一步研究的进展。

而近年来很火的机器学习在解决“移动沙发问题”时也受到很大限制。机器学习模型通常需要大量的数据进行训练，而“移动沙发问题”的解答主要依赖于理论推导和优化算法生成的有限数据集，难以满足大规模模型的训练需求。

此外，数学优化问题往往需要高度可解释和精确的解决方案，而机器学习模型的“黑箱”特性使其可能只能给出答案，给不出解决过程，这使得其难以直接应用于此类问题的求解。

“沙发”不仅需要通过直角转弯，还必须避免与走廊的墙壁发生碰撞，这些多重约束条件使得优化过程极为复杂。“移动沙发问题”涉及几何学、优化理论和计算几何等多个学科的知识，因此需要跨学科的研究来寻找解决方案。

“移动沙发问题”真的被解决了吗？

让我们将目光转向近期备受关注的白真允（Jineon Baek）那篇长达 119 页的论文。他宣称，自己已证明由约瑟夫·杰弗设计的那款“沙发”就是最优解。

白真允首先提出了最优“沙发”的形状限制条件：① 沙发的形状可通过旋转走廊的交集定义；② 沙发的边长需满足特定的平衡条件；③ 必须能够旋转 90 度完成移动。

接着，他证明了“沙发”在运动过程中，其关键点的轨迹不自交（即没有重复或重叠），形成平面上的简单闭曲线，从而确保了面积计算的严谨性。

Q(S)定义的图示丨图片来源：文献[1]

随后，他构造了一个二次函数Q(S)作为“沙发”面积的上界，并利用 Mamikon 定理和 Brunn-Minkowski 理论证明了 Q(S)是凹函数，这意味着它的局部最大值也是全局最大值。

最后，他验证了杰弗设计的“沙发”完全符合这些条件，且 Q(S)的值再次达到最大，确认其面积 2.2195 是理论上的最大值。

不过，这篇论文尚未见诸权威期刊，也未经过广泛的同行评审，目前学界对其证明的正确性和严谨性仍持观望态度。要断言“移动沙发问题”已经彻底解决，恐怕还为时尚早。

结语

那么，彻底解决这个问题究竟有什么意义呢？

除了在解决过程中开发的工具和构造方法为其他几何优化问题提供了新的思路外，“移动沙发问题”还可以被抽象为一种空间利用的极限优化模型，对建筑设计、家具制造以及物流管理等实际领域具有重要参考价值。

例如，在狭窄空间中搬运物体时快递机器人的路径规划，生产流水线上的机械臂搬运不规则物体时的空间路径规划，就可以从这一问题的研究中获得启发。

让我们静待数学家们对白真允论文的审慎验证，共同期待这一困扰科学界 60 多年的难题最终得以圆满解决。